☆ Zêta

On définit, pour tout entier naturel `n`  non nul, la suite \(\left(S_{n}\right)\)  par \(\displaystyle S_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\dfrac{1}{k^{2}}\) . L'objectif est de déterminer la limite de cette suite.
Pour tout entier naturel \(n\) , on pose \(I_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\mbox{d}x}\)  et \(J_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x^{2}\cos^{n}x\mbox{d}x}\) .

1. Calculer \(I_0,\, J_0,\,I_1\)  et \(J_1\) .

2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(I_n>0\) .

3. Établir que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_{n}\) .

4. a. Montrer que, pour tout \(x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) , on a \(0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}\sin x\) .
    b. En déduire que, pour tout entier naturel  \(n\) , on a \(0\leqslant J_{n}\leqslant\dfrac{\pi^{2}}{4}\left(I_{n}-I_{n+2}\right)\) .
    c. Montrer alors que la suite de terme général  \(\dfrac{J_{n}}{I_{n}}\) converge vers \(0\) .

5. Soit  \(k\)  un entier naturel.
    a. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que \(I_{k+2}=\dfrac{(k+1)(k+2)J_{k}-(k+2)^{2}J_{k+2}}{2}\) .
    b. En déduire que \(\dfrac{1}{\left(k+2\right)^{2}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{J_{k}}{I_{k}}-\dfrac{J_{k+2}}{I_{k+2}}\right)\) .
    c. En sommant les égalités précédentes, démontrer que la suite \(\left(S_{n}\right)\)  converge vers \(\dfrac{\pi^{2}}{6}\) .