☆ Zêta

On définit, pour tout entier naturel $n$  non nul, la suite $\left(S_n\right)$  par ${\displaystyle S_n=\underset{k=1}{\sum ^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}}$ . L'objectif est de déterminer la limite de cette suite.
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $I_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}x\text{d}x}$  et $J_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{x}^2{\cos }^{n}x\text{d}x}$ .

1. Calculer $I_0,J_0,I_1$  et $J_1$ .

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n>0$ .

3. Établir que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+2}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}{I}_n$ .

4. a. Montrer que, pour tout $x\in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ , on a $0⩽x⩽{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin x$ .
    b. En déduire que, pour tout entier naturel  $n$ , on a $0⩽J_n⩽{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}(I_n-I_{n+2})$ .
    c. Montrer alors que la suite de terme général  ${\displaystyle \frac{J_n}{I_n}}$ converge vers $0$ .

5. Soit  $k$  un entier naturel.
    a. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que $I_{k+2}={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)J_k-(k+2{)}^2{J}_{k+2}}{2}}$ .
    b. En déduire que ${\displaystyle \frac{1}{{(k+2)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{J_k}{I_k}}-{\displaystyle \frac{J_{k+2}}{I_{k+2}}})$ .
    c. En sommant les égalités précédentes, démontrer que la suite $\left(S_n\right)$  converge vers ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$ .